I. Phép đồng dư thức

1. Định nghĩa

Đồng dư thức là phép toán lấy số dư của số này khi chia cho số khác, kí hiệu là $\%$. Ví dụ: $5\%2=1$, khi đó có thể viết là $5\equiv 1$$(mod$$2)$.

Phép đồng dư thức có tính chất phân phối đối với phép cộng, phép nhân và phép trừ, cụ thể như sau:

• $(a+b)$$\%$$c$$=[(a$$\%$$c)+(b$$\%$$c)]$$\%$$c$.- $(a-b)$$\%$$c$$=[(a$$\%$$c)-(b$$\%$$c)]$$\%$$c$.
• $(a\times b)$$\%$$c$$=[(a$$\%$$c)\times (b$$\%$$c)]$$\%$$c$.

Riêng đối với phép chia, chúng ta không có tính chất phân phối, mà phải sử dụng một lí thuyết là Nghịch đảo modulo.

2. Nghịch đảo modulo của một số

Như chúng ta đều biết ở chương trình Toán phổ thông, nghịch đảo của một số nguyên $a$ (kí hiệu a−1a^{-1}a−1) là số thỏa mãn: a.a−1=1a.a^{-1}=1a.a−1=1.

Đối với nghịch đảo modulo, ta cũng có khái niệm tương tự, nhưng là xét trên tập số dư khi chia cho $M$. Nghịch đảo modulo $M$ của một số $a$ (cũng kí hiệu a−1a^{-1}a−1) là số nguyên thỏa mãn: a.a−1≡1 (moda.a^{-1}equiv1 (moda.a−1≡1 (mod$M)$ (Nói cách khác, a−1a^{-1}a−1 chính là 1afrac{1}{a}a1​$\%$$M)$. Lấy ví dụ, nếu ta chọn M=109+7,a=2M={10}^9+7, a=2M=109+7,a=2 thì a−1=500000004a^{-1}=500000004a−1=500000004.

Không phải lúc nào cũng tồn tại a−1a^{-1}a−1. Chỉ khi $\text{GCD}(a,M)=1$ thì mới tồn tại a−1a^{-1}a−1 là nghịch đảo modulo $M$ của $a$. Để tính nghịch đảo modulo của một số, ta có thể sử dụng hai giải thuật: Giải thuật Euclid mở rộng hoặc dựa trên định lý Fermat nhỏ (áp dụng giải thuật chia để trị tính ab % ca^b % cab % c).

2.1. Sử dụng giải thuật Euclid mở rộng

Như đã trình bày ở trên, theo giải thuật Euclid mở rộng, nếu $GCD\left(a,M\right)=1$, ta luôn tìm được $x$ và $y$ thỏa mãn: $a.x+M.y=1$. Mà $M.y$ chia hết cho $M$, do đó phương trình trở thành:

$$a.x\equiv 1(\text{mod}M)$$

Từ đây suy ra $x$ chính là a−1a^{-1}a−1. Tuy nhiên trong giải thuật Euclid mở rộng, $x$ có thể mang giá trị âm, nên ta sẽ điều chỉnh một chút để tính được giá trị a−1a^{-1}a−1 luôn không âm.

longlong x;longlongmodulo_inverse(longlong a,longlong M){longlong gcd =extended_euclid(a, M);if(gcd !=1)return-1;// a và M không nguyên tố cùng nhau, không tồn tại nghịch đảo modulo M của a.return(x % M + M)% M;// Do x có thể âm, ta làm dương nó.}

2.2. Tính nghịch đảo modulo bằng định lý Fermat nhỏ

Theo định lý Fermat nhỏ, ta có: Nếu $M$ là số nguyên tố và $a$ không chia hết cho $M$ thì:

aM−1≡1 (mod M)a^{M-1} equiv 1 (text{mod} M)
aM−1≡1 (mod M)

hay nói cách khác:

a×aM−2≡1 (mod M)a times a^{M-2} equiv 1 (text{mod} M)
a×aM−2≡1 (mod M)

Điều này tương đương với việc nếu $M$ là số nguyên tố và $a$ không chia hết cho $M$ thì aM−2a^{M-2}aM−2 chính là nghịch đảo modulo $M$ của $a$, cũng tương đương với aM−2a^{M-2}aM−2$\%$$M$ là nghịch đảo modulo $M$ của $a$.

longlongpower_mod(longlong a,longlong b,longlong M)// Tính a^b % M.{if(b ==0)return1;if(b ==1)return a;longlong half =power_mod(a, b /2, M)% M;if(b %2==0)return(half * half)% M;elsereturn(((half * half)% M)* a)% M;}longlongmodulo_inverse(int a,int M){returnpower_mod(a, M – 2, M);}

3. Áp dụng nghịch đảo modulo để tính ab % cfrac{a}{b} % cba​ % c

Mình đã đề cập ở mục $1$, phép chia không có tính chất phân phối đối với phép đồng dư thức giống như các phép cộng, trừ và nhân. Để tính ab % c,frac{a}{b} % c,ba​ % c, ta làm như sau:

• Tách ab=(a×1b) % c=(a×b−1) % c,frac{a}{b} = left(a times frac{1}{b}right) % c =left(a times b^{-1}right) % c,ba​=(a×b1​) % c=(a×b−1) % c, trong đó b−1b^{-1}b−1 là nghịch đảo modulo $c$ của $b$.
• Sau đó áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép đồng dư thức, lúc này phép chia modulo trở thành phép nhân với nghịch đảo modulo. Lưu ý, tùy vào giá trị $c$ mà ta chọn cách tìm nghịch đảo modulo thích hợp ($c$ có là số nguyên tố hay không).

Cài đặt:

longlongmodulo_divide(longlong a,longlong b,longlong c){longlong inverse =modulo_inverse(b, c);return(a % c * inverse)% c;}

4. Bậc lũy thừa theo modulo $N$ (Multiplicative Order)

Xét hai số nguyên $a$ và $N$ nguyên tố cùng nhau, bậc lũy thừa của $a$ theo modulo $N$ là số nguyên dương $K$ nhỏ nhất thỏa mãn: aK≡1 (mod N)a^K equiv 1 text{ } (mod text{ } N)aK≡1 (mod N), kí hiệu là ordN(a)ord_N(a)ordN​(a).

Theo định lý Euler, vì $a$ và $N$ là hai số nguyên tố cùng nhau nên aϕ(N)≡1 (mod N),a^{phi(N)} equiv 1 (text{mod} N),aϕ(N)≡1 (mod N), với $\varphi (N)$ là số lượng số nguyên dương không vượt quá $N$ và nguyên tố cùng nhau với $N$. Mà $\varphi (N)\le N$, do đó ordN(a)≤Nord_N(a) le NordN​(a)≤N, vậy để tìm ordN(a)ord_N(a)ordN​(a) chỉ cần duyệt một vòng lặp từ $1$ tới $N$ với độ phức tạp $O(N-1)$.

intfind_m_order(int a,int N){int mul =1;for(int i =1; i <= N;++i){
        mul =(mul * a)% N;if(mul ==1)return i;}}

5. Tiêu chuẩn Euler (Euler’s Criterion)

Đầu tiên, ta làm quen với khái niệm Thặng dư bậc hai: Một số nguyên $q$ được gọi là thặng dư bậc hai theo modulo $N$ nếu như nó đồng dư với một số chính phương theo modulo $N,$ nghĩa là tồn tại một số nguyên $x$ sao cho x2≡q (mod N)x^2 equiv q (text{mod} N)x2≡q (mod N).

Trong lý thuyết số, tiêu chuẩn Euler là một công thức dùng để xác định xem một số nguyên có phải là một thặng dư bậc hai theo modulo $P$ (với $P$ là một số nguyên tố) hay không. Theo đó, xét hai số nguyên $a$ và $P$ nguyên tố cùng nhau, trong đó $P$ là một số nguyên tố lẻ. Ta có công thức sau:

Đối với trường hợp $P=2,$ mọi số nguyên đều là thặng dư bậc hai theo modulo $P$.

Ví dụ, xét $P=7$, ta có $a=2$ là thặng dư bậc hai của $7,$ vì tồn tại hai số nguyên $x=3$ và $x=4$ thỏa mãn a≡x2 (mod P)a equiv x^2 text{ } (mod text{ } P)a≡x2 (mod P).

longlongpower_mod(longlong a,longlong b,longlong P){if(b ==0)return1;if(b ==1)return a;longlong half =power_mod(a, b /2, P)% P;if(b %2==0)return(half * half)% P;elsereturn(((half * half)% P)*(a % P))% P;}// Kiểm tra N có phải thặng dư bậc 2 của P hay không.boolcheck_quadratic_residue(longlong N,longlong P){if(P ==2)returntrue;elsereturn(power_mod(N,(P -1)/2, P)==1);}

Trong trường hợp $N$ và $P$ cùng có dạng $4i+3(i>0)$, thì giá trị $x$ thỏa mãn x2≡N (mod P)x^2 equiv N (text{mod} P)x2≡N (mod P) (nếu tồn tại) chỉ có thể là: x=± NP+14x=pm text{ }N^{frac{P + 1}{4}}x=± N4P+1​. Dựa vào nhận xét này ta có thể tính nhanh ra giá trị $x$. Chứng minh nhận xét như sau:

• Theo định lý Euler, ta có: NP−12 % P=1N^{frac{P – 1}{2}} % P = 1N2P−1​ % P=1.
• Nhân cả hai vế với $N$:

NP+12 % P=N % P (1)N^{frac{P + 1}{2}} % P = N % P (1)
N2P+1​ % P=N % P (1)

• Lại có: x2≡N (mod P)x^2 equiv N (text{mod} P)x2≡N (mod P).
        ⇔x2≡NP+12 (mod P)Leftrightarrow x^2 equiv N^{frac{P+1}{2}} (text{mod} P)⇔x2≡N2P+1​ (mod P) (do đẳng thức $(1)$).
        ⇔x2≡N2i+2 (mod P)Leftrightarrow x^2 equiv N^{2i + 2} (text{mod} P)⇔x2≡N2i+2 (mod P) (do $N=4i+3$).
        ⇔x≡ Ni+1 (mod P)Leftrightarrow x equiv N^{i + 1} (text{mod} P)⇔x≡ Ni+1 (mod P).
        ⇔x≡± NP+14 (mod P)Leftrightarrow x equiv pm N^{frac{P + 1}{4}} (text{mod} P)⇔x≡± N4P+1​ (mod P) (do $P=4i+3$).

Cài đặt:

intfind_quadratic_residue(int N,int P){// P và N không ở đúng dạng 4i + 3, không tính được theo cách này.if(P %4!=3|| N %4!=3)return-1;int x =power_mod(N,(P +1)/2, P);// Kiểm tra giá trị x thứ nhất có hợp lệ không.if((x * x)% P == N % P)return x;// Kiểm tra giá trị x thứ hai có hợp lệ không.
    x = P - x;if((x * x)% P == N % P)return x;// Nếu không tồn tại x, kết luận N không phải thặng dư bậc 2 của Preturn-1;}

II. Tài liệu tham khảo:

• https://en.wikipedia.org/wiki/Quadratic_residue
• https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_criterion
• https://vnoi.info/wiki/translate/he/So-hoc-Phan-1-Modulo-gcd.md
• https://vnoi.info/wiki/algo/math/modular-inverse.md
• https://en.wikipedia.org/wiki/Modular_multiplicative_inverse
• https://en.wikipedia.org/wiki/Multiplicative_order
• https://vi.wikipedia.org/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_l%C3%BD_Euler
• https://www.geeksforgeeks.org/find-square-root-under-modulo-p-set-1-when-p-is-in-form-of-4i-3/