Chắc hẳn không sinh viên IT nào là không phải học môn Cấu trúc dữ liệu & Giải thuật, trong bộ môn này các bạn sẽ học tới giải thuật tìm đường đi ngắn nhất (find the shortest path), 1 thuật toán cụ thể đó là Dijkstra.
Nhắc lại về Graph và Dijkstra
Graph (Đồ thị)
Đồ thị là một khái niệm trừu tượng thể hiện kết nối giữa các đối tượng. Đồ thị hữu ích với cả khoa học máy tính và những vấn đề khác trên đời, vì ta có thể sử dụng đồ thị để biểu diễn nhiều hiện tượng quan trọng.
Ví dụ áp dụng đồ thị phổ biến:
- Bản đồ
- Mạng lưới internet
Biểu diễn đồ thị vô hướng bằng ma trận kề (Adjacency Matrix)
Cho đồ thị sau:
Xét theo đồ thị phía trên chúng ta sẽ biểu diễn theo ma trận kề như sau:
Theo hình trên, tạm gọi ma trận là mảng 2 chiều array thì ta có thể thấy được khoảng cách giữa các đỉnh với nhau, ví dụ:
- Khoảng cách từ mỗi đỉnh đến chính nó là 0.
- Khoảng cách từ đỉnh A tới đỉnh B:
- array[0][1] = 10
- Khoảng cách từ đỉnh B tới đỉnh C:
- array[1][2] = ∞ (dương vô cực, bởi vì không tồn tại đường từ B tới C).
Lí thuyết thuật toán Dijkstra
Ý tưởng thuật toán
Thuật toán hoạt động bằng cách duy trì một tập hợp các đỉnh trong đó ta đã biết chắc chắn đường đi ngắn nhất. Mỗi bước, thuật toán sẽ chọn ra một đỉnh u mà chắc chắn sẽ không có đường nào ngắn hơn, sau đó tiến hành tìm đường ngắn nhất của các đỉnh v khác dựa trên các cạnh (u,v) đi ra từ đỉnh u. Sau N bước, tất cả các đỉnh đều sẽ được duyệt, mọi đường đi tìm được đều là ngắn nhất.
Cụ thể hơn, thuật toán sẽ duy trì đường đi ngắn nhất đến tất cả các đỉnh. Ở mỗi bước, chọn đường đi S→u có tổng trọng số nhỏ nhất trong tất cả các đường đi đang được duy trì. Sau đó tiến hành tìm các đường đi từ S→v bằng cách thử kéo dài thành S→u→v (đi qua các cạnh khác rồi mới tới đích đích). (Tham khảo vnoi.info/wiki/algo/graph-theory/shortest-path.md)
Nói 1 cách đơn giản thì Dijkstra dựa trên phương pháp duyệt chiều rộng, với mỗi đỉnh u trong tập hợp, ta đi tìm hết các đỉnh hàng xóm v của nó, và nếu đường đi hiện tại (u, v) khác dương vô cùng hoặc ngắn hơn cost(v), thì chúng ta cập nhật lại cost mới nhỏ hơn và đỉnh kề chính là đỉnh u đang duyệt.
Pseudocode
BEGIN
d(v[1]) ← 0
FOR i = 2,..,n DO
d(v[i]) ← ∞, parent(v[i]) ← NULL
WHILE queue ≠ ∅ DO
u = queue.extractMin()
FOR ALL (u,w) ∈ E DO
dist ← d(u) + l(u,w)
IF w ∈ queue AND d(w) > dist DO
d(w) = dist, parent(w) = (u,w)
ELSE IF parent(w) == NULL THEN
d(w) = dist, parent(w) = (u,w)
queue.insert(w,dist)
END
Bắt tay vào code
Nói về lí thuyết đủ rồi, ta sẽ đi tiếp vào nội dung chính, implement thuật toán này theo phong cách hướng đối tượng bằng Java sử dụng PriorityQueue (hàng đợi ưu tiên). Cá nhân mình ghét kiểu code mà tên biến toàn i, j rồi k, n nên mình sẽ code theo cách đặt tên biến dễ hiểu hơn.
Chúng ta quy ước đặt dương vô cùng có giá trị là 9999.
-
Đầu tiên chúng ta thêm class Vertex đại diện cho từng đỉnh:
Mỗi đỉnh đều sẽ có thông tin về hàng (row), cột (column) và biểu tượng (symbol) đại diện cho label của đỉnh đó.Ta có thêm distance lưu khoảng cách từ đỉnh bắt đầu tới đỉnh này, prev là đỉnh phía trước nó.
Phương thức getSymbol() để lấy về tên của đỉnh đó (A,B,C) thay cho (1,2,3) dựa trên col (nhìn lại ma trận kề phía trên), phương thức getColFromSymbol() để lấy về vị trí của đỉnh dựa trên label của 1 đỉnh bất kì.
Thêm constructor và getters setters phù hợp.
publicclassVertex{privatefinalstaticString ALPHABET ="ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ";privateint row;privateint col;privateint distance;privateVertex prev;publicVertex(int row,int col){this.row = row;this.col = col;}publicchargetSymbol(){return ALPHABET.charAt(col);}publicstaticintgetColFromSymbol(char symbol){return ALPHABET.indexOf(symbol);}/**
Phần getters setters cắt bớt cho gọn
*/}- Tiếp theo sẽ là class Graph đại diện cho đồ thị:
publicclassGraph{privatestaticint INFINITY =9999;privateint[][] matrix ={{0,10,20,9999,9999,9999},{9999,0,9999,50,10,9999},{9999,9999,0,20,33,9999},{9999,9999,9999,0,20,2},{9999,9999,9999,9999,0,1,},{9999,9999,9999,9999,9999,0}};/**
* Tìm đường ngắn nhất từ start tới target
* Phương thức nhận 2 tham số
*
* @param startSymbol đỉnh bắt đầu
* @param targetSymbol đỉnh đích
*/publicvoiddijkstra(char startSymbol,char targetSymbol){}}- Chúng ta code tiếp hàm dijkstra trong class Graph, theo pseudocode, thì chúng ta khởi tạo 1 list với tất cả các đỉnh trong đồ thị đều có cost (hay gọi là distance) là dương vô cùng, ở đây quy ước là INFINITY = 9999; sau đó gán cho cost của đỉnh bắt đầu = 0;
List<Vertex> vertices =newArrayList<>();for(int i =0; i < matrix.length; i++){Vertex vertex =newVertex(i, i);
vertex.setDistance(INFINITY);
vertices.add(vertex);}Vertex startVertex = vertices.get(Vertex.getColFromSymbol(startSymbol));Vertex targetVertex = vertices.get(Vertex.getColFromSymbol(targetSymbol));
startVertex.setDistance(0);- Tiếp tục sử dụng PriorityQueue (hàng đợi FIFO) để duyệt (ưu tiên các đỉnh có khoảng cách ngắn hơn), và tuần tự xét các đỉnh hàng xóm của đỉnh được lấy từ queue ra, đỉnh đầu tiên được thêm vào chính là đỉnh bắt đầu.
Queue<Vertex> vertexQueue =newPriorityQueue<>(Comparator.comparing(Vertex::getDistance));
vertexQueue.add(startVertex);while(!vertexQueue.isEmpty()){Vertex current = vertexQueue.poll();// xét đỉnh hàng xómfor(Vertex neighbor : vertices){}}- Các đỉnh hàng xóm neighbor của đỉnh current chính là những đỉnh tồn tại đường đi từ current tới nó, tức là distance(current, neighbor) != INFINITY. Nhìn lại ma trận kề phía trên ta có thể thấy được, khoảng cách từ current đến neighbor chính là matrix
:
// xét đỉnh hàng xómfor(Vertex neighbor : vertices){int nextWeight = matrix[current.getRow()][neighbor.getCol()];if(neighbor != startVertex && nextWeight != INFINITY){}}-
Tới đây theo pseudocode, sẽ có 2 trường hợp để chúng ta cập nhật lại cost của đỉnh hàng xóm:
- Thứ nhất: Nếu đỉnh hàng xóm đang có cost là dương vô cùng, tức là chưa có con đường nào đi đến nó, ta cập nhật đường đi nhỏ nhất tới neighbor là thông qua current.
- Thứ 2: Nếu đỉnh hàng xóm này đã có 1 con đường nào đó đi tới nó, tuy nhiên đường đi qua current tới neighbor có chi phí (cost) thấp hơn so với chi phí hiện tại của neighbor, thì cập nhật lại đường đi qua current mới là đường ngắn nhất.
-
Khi chúng ta xét hết đỉnh hàng xóm của đỉnh đích thì tức là ta đã tìm được đường ngắn nhất của đỉnh này, cho nên ta có thể break vòng lặp ngay khi đó.
// xét đỉnh hàng xómfor(Vertex neighbor : vertices){int nextWeight = matrix[current.getRow()][neighbor.getCol()];// đỉnh hàng xóm tồn tại đường đi và khác đỉnh bắt đầu, tránh trường hợp quay ngược.if(neighbor != startVertex && nextWeight != INFINITY){int distance = nextWeight + current.getDistance();// chưa tồn tại đường điif(neighbor.getPrev()==null){
neighbor.setDistance(distance);
neighbor.setPrev(current);
vertexQueue.add(neighbor);}// đường mới ngắn hơn đường cũelseif(vertexQueue.contains(neighbor)&& distance < neighbor.getDistance()){// lấy con đường mới ngắn hơn
neighbor.setDistance(distance);
neighbor.setPrev(current);}}if(neighbor == targetVertex){break;}}- Sơ bộ ta đã xong, nhưng KHOAN, CHỜ TÍ, tới đây ta gặp 1 vấn đề với Java, đó chính là PriorityQueue không cập nhật lại thứ tự ưu tiên khi bạn cập nhật giá trị distance. Cho nên lúc ta cập nhật lại đường đi của đỉnh mà đang nằm trong hàng đợi, ta phải xóa và thêm nó lại 1 lần nữa để Queue cập nhật lại thứ tự ưu tiên. (Cứ test để kiểm chứng
).
// đường mới ngắn hơn đường cũelseif(vertexQueue.contains(neighbor)&& distance < neighbor.getDistance()){// lấy con đường mới ngắn hơn
neighbor.setDistance(distance);
neighbor.setPrev(current);// cập nhật thứ tự ưu tiên
vertexQueue.remove(neighbor);
vertexQueue.add(neighbor);}- Đến đây thuật toán đã xong, chúng ta chỉ cần in ra đường đi ngắn nhất nữa là xong:
if(targetVertex.getPrev()==null){System.out.println("KHÔNG TỒN TẠI ĐƯỜNG ĐI TỪ "+ startSymbol +" TỚI "+ targetSymbol);}else{System.out.println("ĐƯỜNG ĐI TỪ "+ startSymbol +" TỚI "+ targetSymbol +" MẤT "+ targetVertex.getDistance());printPath(startVertex, targetVertex);}- Hàm in đường đi:
/**
* In ra đường đi truy ngược theo prev
*
* @param startVertex đỉnh bắt đầu
* @param targetVertex đỉnh kết thúc
*/privatevoidprintPath(Vertex startVertex,Vertex targetVertex){StringBuilder stringBuilder =newStringBuilder();
stringBuilder.insert(0," -> "+ targetVertex.getSymbol());while(targetVertex.getPrev()!=null){if(targetVertex == startVertex){break;}
stringBuilder.insert(0," -> "+ targetVertex.getPrev().getSymbol());
targetVertex = targetVertex.getPrev();}System.out.println(stringBuilder.toString());}- Hoàn tất bước cuối cùng để chạy thử:
publicstaticvoidmain(String[] args){Graph graph =newGraph();
graph.dijkstra('A','E');}Thành quả
Các bạn có thể lấy code hoàn chỉnh ở đây Dijkstra sample gist
Lời kết
Hãy cố gắng lên và môn giải thuật sẽ không còn là ác mộng nữa, chúc các bạn học tốt, happy coding !
Bài viết gốc ở đây
Nguồn: viblo.asia