The Euclidean Algorithm

1. Introduction Đây là một giải thuật để tính ước chung lớn nhất (GCD – Greatest Common Divisor) của hai số nguyên, là số lớn nhất có thể chia được bởi hai số nguyên đó với số dư bằng không. Thuật toán Euclidean cho hai số nguyên A và B được mô tả bằng các

1. Introduction

Đây là một giải thuật để tính ước chung lớn nhất (GCD – Greatest Common Divisor) của hai số nguyên, là số lớn nhất có thể chia được bởi hai số nguyên đó với số dư bằng không.

Thuật toán Euclidean cho hai số nguyên A và B được mô tả bằng các bước như sau:

  1. Nếu A = 0 thì GCD (A, B) = B, vì GCD (0, B) = B, và chúng ta có thể dừng lại.
  2. Nếu B = 0 thì GCD (A, B) = A, vì GCD (A, 0) = A, và chúng ta có thể dừng lại.
  3. Biểu diễn A dưới dạng phần dư và thương số (A = B⋅Q + R)
  4. Tìm GCD(B,R) sử dụng thuật toán Euclidean vì GCD(A,B) = GCD(B,R)

Ví dụ tìm ước chung lớn nhất của 38 và 16.

visualize.png

euclidean-algorithm-1.png

euclidean-algorithm-2.png

euclidean-algorithm-3.png

euclidean-algorithm-4.png

euclidean-algorithm-5.png

2. Proof of correctness

Nếu khảo sát thuật toán này, chúng ta có thể thấy rằng, thuật toán Euclidean sử dụng những tính chất sau:

  • GCD(A,0) = A
  • GCD(0,B) = B
  • Nếu A = B⋅Q + RB ≠ 0 thì GCD(A,B) = GCD(B,R) nếu Q là một số nguyên, R là một số nguyên ∈[0,B−1]in [0, B-1]

Hai tính chất đầu tiên cho phép chúng ta tìm ước chung lớn nhất nếu một trong hai số bằng 0, tính chất thứ ba cho phép chúng ta chuyển từ một vấn đề lớn hơn, khó giải quyết hơn thành một vấn đề nhỏ hơn, dễ giải quyết hơn.
Thuật toán Euclidean sử dụng tính chất thứ 3 để nhanh chóng chuyển bài toán ban đầu về một bài toán đơn giản hơn cho đến khi nó có thể được giải quyết bằng cách sử dụng một trong hai tính chất đầu tiên.

Và để hiểu hơn thì chúng ta sẽ bắt tay vào việc chứng minh những tính chất nêu trên là đúng.

GCD(A,0)=A

  • Số nguyên lớn nhất A có thể chia hết chính là A
  • 0 chia hết cho A
  • 0 và A đều chia hết cho A nên GCD(A,0)=AGCD(A,0) = A

GCD(0,B)=B

  • Tương tự như trên nhưng thay A bằng B.

GCD(A,B)=GCD(B,R)

Để chứng minh bổ đề trên, trước hết chúng ta cần chứng minh bổ đề sau đây là đúng: GCD(A,B)=GCD(B,A−B).GCD(A,B)=GCD(B,A-B).

image.png

Giả sử chúng ta có ba số nguyên A, B và C sao cho A−B=CA-B = C

Ta có:

C=A−BA=X⋅GCD(A,B)B=Y⋅GCD(A,B)}⇒C=(X−Y)⋅GCD(A,B)begin{rcases}
C=A-B\
A=X⋅GCD(A,B) \
B=Y⋅GCD(A,B)
end{rcases}⇒C=(X – Y)⋅GCD(A,B)

=> C chia hết cho ước chung lớn nhất của A và B (1).

image.png

A=B+CB=M⋅GCD(B,C)C=N⋅GCD(B,C)}⇒A=(M+N)⋅GCD(B,C)begin{rcases}
A=B+C\
B=M⋅GCD(B,C) \
C=N⋅GCD(B,C)
end{rcases}⇒A=(M + N)⋅GCD(B,C)

=> A chia hết cho ước chung lớn nhất của B và C (2).

image.png

GCD(B,C) là ước chung lớn nhất của B và C (3).

GCD(A,B) là ước chung lớn nhất của A và B (4).

GCD(A,B)∣B,C (1)GCD(B,C)∣B,C (3)GCD(B,C)∣A,B (2)GCD(A,B)∣A,B (4)}⇒begin{rcases}
GCD(A,B) mid B, C& (1) \
GCD(B,C) mid B, C& (3)\
GCD(B,C) mid A,B& (2)\
GCD(A,B) mid A,B& (4)
end{rcases}⇒

(1)(3) GCD(B,C)⩾GCD(A,B)(2)(4) GCD(A,B)⩾GCD(B,C)}⇒GCD(A,B)=GCD(B,C)⇒GCD(A,B)=GCD(B,A−B)begin{rcases}
(1)(3) & GCD(B,C) geqslant GCD(A,B) \
(2)(4) & GCD(A,B) geqslant GCD(B,C)
end{rcases}⇒GCD(A,B) = GCD(B,C)⇒GCD(A,B) = GCD(B,A-B)

image.png

A=B⋅Q+RGCD(A,B)=GCD(B,A−B)=GCD(A−B,B)}⇒begin{rcases}
A = B⋅Q + R\
GCD(A,B) = GCD(B,A-B) = GCD(A-B, B)\
end{rcases}⇒

A=B⋅Q+RGCD(A,B)=GCD(A−B,B)=GCD(A−2B,B)}⇒begin{rcases}
A = B⋅Q + R\
GCD(A,B) = GCD(A – B,B) = GCD(A – 2B,B)
end{rcases}⇒

R=A−B⋅QGCD(A,B)=GCD(A−B.Q,B)=GCD(R,B)}⇒GCD(A,B)=GCD(B,R)begin{rcases}
R = A – B⋅Q\
GCD(A,B) = GCD(A – B.Q,B) = GCD(R,B)
end{rcases}⇒ GCD(A,B) = GCD(B,R)

3. Reference

Nguồn: viblo.asia

Bài viết liên quan

9 Mẹo lập trình Web “ẩn mình” giúp tiết kiệm hàng giờ đồng hồ

Hầu hết các lập trình viên (kể cả những người giỏi) đều tốn thời gian x

Can GPT-4o Generate Images? All You Need to Know about GPT-4o-image

OpenAI‘s GPT-4o, introduced on March 25, 2025, has revolutionized the way we create visual con

Khi nào nên dùng main, section, article, header, footer, và aside trong HTML5

HTML5 đã giới thiệu các thẻ ngữ nghĩa giúp cấu trúc nội dung web một cách có

So sánh Webhook và API: Khi nào nên sử dụng?

Trong lĩnh vực công nghệ thông tin và phát triển phần mềm, Webhook và API là hai th